|
Abstract:
|
Tämä tutkimuksen tavoite on luoda katsaus Riemannin hypoteesiin ja sen laskennallisiin tutkimusmenetelmiin. Tutkimuksessa tehdään kirjallisuuskatsaus hypoteesin kehitykseen. Lukijalle pyritään antamaan selkeä kuva itse ongelmasta, sen taustalla olevasta matematiikasta ja vaikutteista sekä käytetyistä laskennallisista tutkimusmenetelmistä.Riemann oli 1800-luvulla elänyt matemaatikko, joka yhdisti merkittävällä tavalla kolme sen hetkistä matematiikan osa-aluetta yhdeksi hypoteesiksi. Nämä kolme matematiikan haaraa olivat matemaattinen analyysi, lukuteoria ja kompleksilukujen teoria. Jokainen osa-alue oli kehittynyt merkittävästi Riemannia edeltäneiden kahden vuosisadan aikana.Riemannin hypoteesin lähtökohta on C-funktio, joka on harmonisen sarjan, jossa jokainen summan termi on korotettu potenssiin s, summa. Tässä s on mielivaltainen kompleksiluku. Riemannin hypoteesin mukaan C-funktion ei-triviaalien nollakohtien reaaliosan arvo on puoli.Kokonaisia uusia matematiikan haaroja on syntynyt Riemannin hypoteesin todistamisyrityksistä, mutta hypoteesia ei ole voitu osoittaa oikeaksi. Konkreettinen lähestyminen laskennan kautta on yksi tehokkaimpia tapoja ymmärtää ongelmaa syvemmin. Samalla on myös mandollista osoittaa hypoteesi vääräksi. Yksikin löydetty nollakohta, jonka reaaliosan arvo ei ole puoli, kumoaa Riemannin olettamuksen. Vuoteen 2005 mennessä 4-funktion nollakohtia on eri menetelmillä laskettu 1013, joista jokainen on kuitenkin täyttänyt hypoteesin.Vaikka huomattavat laskennalliset tulokset tukevat vahvasti Riemannin hypoteesia, nollakohtia laskemalla hypoteesia ei kuitenkaan voida koskaan todistaa oikeaksi. Uudeksi tutkimussuunnaksi on viime vuosina muodostunut Riemannin -funktion ympäristön laskennallinen tarkastelu. Tarkoituksena on tällöin ymmärtää paremmin hypoteesin lähtökohtia ja Riemannin asettamien ehtojen vaikutuksia funktion käyttäytymiseen. Joitain tutkimuksia tältä alueelta on jo julkaistu. |