Use of structure in the numerical estimation of the Jacobian matrix

Abstract

AB3:Tässä työssä tutkittiin kuinka Jacobin matriisin, A, rakennetta voidaan käyttää hyväksi minimoitaessa laskettavaksi vaadittavien funktion arvojen lukumäärää, kun A:n alkiot estimoidaan numeerisesti differenssiapproksimaatiolla.Tavanomaisessa lähestymistavassa, ns. erillisten sarakkeiden menetelmässä, A:n sarakkeet jaetaan ryhmiin siten, että kaikki samaan ryhmään kuuluvat sarakkeet ovat erillisiä. Kaksi saraketta ovat erillisiä, jos niillä ei ole samassa rivissä nollasta poikkeavaa alkiota. Jos sarakkeiden ryhmittelemisen tulos on g ryhmää, niin funktion arvo joudutaan laskemaan g + 1 kertaa. Kun käytetään yksinkertaisinta differenssiapproksimaatiota, funktion arvo joudutaan aina laskemaan vähintään p+1 kertaa, missä p on nollasta poikkeavien alkioiden suurin lukumäärä A:n kaikissa riveissä. Jos g = p, niin erillisten sarakkeiden menetelmä on löytänyt ryhmittelyn, jossa on minimimäärä ryhmiä. Valitettavasti erillisten sarakkeiden menetelmä ei usein löydä tätä minimimäärää. - Tässä työssä esitellään uusi lähestymistapa, jossa lähtökohtana on erillisten sarakkeiden ryhmittely, jota yritetään parantaa. On kehitetty kahden esiintymän menetelmä, jossa A:n sarakkeet ryhmitellään niin, että kukin niistä esiintyy kahdessa ryhmässä.

This thesis is concerned with using the structure of a sparse Jacobian matrix, A, to minimize the number of function evaluations needed when estimating the elements of A using finite differences.In the conventional way of attacking this problem, the isolated column method, the columns of A are partitioned into g groups such that all columns belonging to a group are isolated. Two columns are isolated if they do not contain a nonzero in the same row. After partitioning the columns of A into isolated column groups, g + 1 function evaluations are needed. The minimum number of function evaluations needed when using simple forward differences is p + 1, where p is the maximum number of nonzeros in any row of A. So if g = p, the isolated column method has found the minimum number of groups. Unfortunately, the isolated column method often fails to achieve this minimum. - The new approach taken in this thesis - the two-occurrence method - starts with the isolated column grouping and tries to improve on it. The two-occurrence method forms a new grouping in which each column of A appears in exactly two groups.