Dynamical properties of two DAE solvers

Abstract

The recent trends in solving differential equations have been towards solvers with more specific properties. For example, the conserving of the total energy of a system or symplecticity. Ordinary differential equation (or ODE) solvers have seen extensive research towards so-called geometric numerical integrators and other structure preserving methods. Research on differential-algebraic equation (or DAE) solvers has just recently begun. The thesis is a part of the latest trend to research properties of DAE solvers. In the thesis, the system of a mathematical douple-pendulum are developed in both ODE and DAE forms. ODE form is used to investigate some theoretical dynamical features of the pendulum system and DAE form is used for the numerical simulations. The numerical methods used are partitioned and symplectic Rattle-Shake and energy preserving Implicit-Midpoint methods. Simple analytical results for the integrators are presented and some dynamical features are researched using numerical simulations. This gives us some simple results of the suitability of the integrators for solving problems as well as some ideas for possible larger research on the topic.

AB3:Numeeristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa on viime vuosina ollut selvä kehitys kohti erityisempiä ja omonaisuuksiltaan tarkempia menetelmiä. Näin ollen erilaiset dynaamisten ominaisuuksien tarkastelut ovat erittäin oleellinen osa tätä kehitystä. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden ominaisuuksia on tutkittu ja kehitelty viime aikoina hyvin paljon, differentiaalialgebrallisten menetelmien tutkiminen on vasta alkamassa. Opinnäytetyö vastasi osaltaan tähän aihealueeseen. Työssä esitettiin matemaattisen tuplaheilurin liikeyhtälöt sekä perinteisessä differentiaaliyhtälömuodossa että differentiaali-algebrallisessa muodossa. Tavallisesta differentiaaliyhtälömuodosta voidaan johtaa joitakin yleisiä ominaisuuksia, joita systeemillä on. Differentiaalialgebrallisista yhtälöistä muodostetaan varsinaiset numeeriset ratkaisumenetelmät, joita diplomityössä tutkittiin.