Johdantoa hilateoriaan, distributiiviset hilat

Abstract

Matematiikassa hilalla (lattice) tarkoitetaan osittain järjesteäytynyttä joukkoa, jonka jokaisella alkioparilla on yksikäsitteinen pienin yläraja ja suurin alaraja. Hilat voidaan määritellä myös tietyt aksiomaat täyttävänä algebrallisena struktuurina. Kyseiset määritelmät voidaan osoittaa ekvivalenteiksi. Tästä johtuen hilateoriaa voidaan pitää sekä järjestysteorian että universaalialgebran osana. Diplomityössä käytettiin lähtökohtana hilan jälkimmäistä määrittelytapaa. Hila määriteltiin joukkona, jossa oli määritelty kaksi binäärioperaatiota, jotka toteuttivat kuusi hila-aksioomaa. Työn tarkoituksena oli antaa lukijalle katsaus hilateorian perusteisiin. Liikkeelle lähdettiin perusalgebran käsitteistä, joita tarvitaan hilateorian ymmärtämiseen. Tutustuttiin osittain järjestettyjen joukkojen teoriaan ja määriteltiin algebrallinen struktuuri. Tutustuttiin hiloihin algebrallisena rakenteena ja muodostettiin yhteys hilaoperaatioiden ja hilan järjestyksen välillä. Todistettiin, että hilojen aksioomajoukko on riippumaton ja todettiin, että hilat voidaan määritellä useammalla erilaisella kuuden aksiooman joukolla. /Kir09