Henstock-Kurzweilin integraali

Abstract

Tällä hetkellä opetuksessa eniten käytetty integraali on Riemannin integraali. Syynä suosioon on sen helppo ymmärrettävyys ja sen peruslauseiden suhteellisen yksinkertainen todistettavuus. Monissa yliopistoissa se on myös matematiikan opiskelijoille opetettu integraali. Riemannin integroimisteorian ongelmana on kuitenkin se, ettei se ole riittävän tehokas kaikille sovelluksille. Matemaatikot käyttävät nykyisin Lebesguen integraalia, sillä se on yleisempi kuin Riemannin integraali eikä esimerkiksi epäjatkuvuus aseta sille rajoituksia. Lebesguen integroimisteorian ymmärtäminen vaatii kuitenkin korkeampaa matematiikkaa, sillä se on teoreettinen työkalu. Näin ollen useimmat matematiikan perusteokset käsittelevät sen sijasta Riemannin integraalin. Näiden kahden teorian hyvät puolet yhdistyvät Henstock-Kurzweilin integraalissa. Se on joiltain osin jopa yleisempi kuin Lebesguen määritelmä, joten se on Lebesguen integraaliakin tehokkaampi. Samalla sen määritelmä on ymmärrettävissä yhtä helposti kuin Riemanin integraalin määritelmä. Tämän työn tarkoituksena oli esitellä Henstock-Kurzweilin integraali tehokkaana työkaluna. Työ perustuu integraalista kirjoitettuihin englanninkielisiin teoksiin ja työ on kirjoitettu suomeksi.Työssä käydään läpi integraalin määritelmä niin, että se kattaa rajoittamattomat välit. Lisäksi todistetaan integraalin suppenemisalueet. Työssä tarkastellaan mitallisten funktioiden Henstock-Kurzweil -integroituvuutta sekä esitetään Lebesguen integraali Henstock-Kurzweil -integraalin avulla.